Panitia lomba olimpiade matematika membuat nomor peserta yang disusun dari angka 1, 3, 3, 4, dan 7. Jika nomor-nomor tersebut disusun berdasarkan kodenya mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar, nomor peserta 43137 berada pada urutan ke-...
(A) 40
(B) 42
(C) 44
(D) 85
(E) 86
Jika nomor-nomor tersebut disusun berdasarkan kodenya mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar, nomor peserta 43137 berada pada urutan ke-40 (A).
=======================
PEMBAHASAN
Permutasi adalah salah satu konsep untuk menyusun suatu objek dalam suatu kelompok atau himpunan dengan memperhatikan urutannya baik dari semua elemen objeknya atau unsur maupun sebagiannya saja.
Rumus - Rumus Permutasi
1. Untuk permutasi tanpa unsur ganda :
[tex] \boxed{\sf{P^{^{ \bf{n}}}_{r} } = \frac{n!}{(n! - r)} }[/tex]
2. Untuk permutasi dengan unsur ganda :
[tex] \boxed{\sf{P_{{(n,k_{_{1}}!,k_{_{2}}!,k_{_{3}}!,k_{_{t}}!)}} = \frac{n!}{(k_{_{1}}!)(k_{_{2}}!)(k_{_{3}}!). \: . \: .(k_{_{t}}!)} }}[/tex]
3. Untuk permutasi unsur melingkar (siklis) :
[tex] \boxed{\sf{_{n}P_{siklis} } = (n - 1)! }[/tex]
Keterangan
- P = Permutasi
- n = Jumlah total unsur
- r = Jumlah unsur yang diambil atau dipilih
- k = Jumlah unsur ganda
→ Diketahui :
- Jumlah unsur (n) = 5 → (1, 3, 3, 4, 7)
- Jumlah unsur yang sama (k₁) = 2 → (3, 3)
→ Ditanya :
Nomor peserta 43137 berada pada urutan . . . ?
→ Penyelesaian :
Langkah pertama, hitung terlebih dahulu jumlah nomor peserta olimpiade matematika yang bisa kita susun.
[tex] \sf{P = \frac{n!}{k_{1}!}} [/tex]
[tex] \sf{P= \frac{5!}{2!}} [/tex]
[tex]\sf{P= \frac{(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)}{(2 \times 1)} }[/tex]
[tex]\sf{P= \frac{120}{2} }[/tex]
[tex]\sf{P = 60}[/tex]
Langkah kedua, hitung jumlah nomor jika diawali oleh angka 1.
[tex]\sf{P = \frac{(n - 1)!}{k_{1}!}} [/tex]
[tex]\sf{P = \frac{(5 - 1)!}{2!}} [/tex]
[tex]\sf{P = \frac{4!}{2!}} [/tex]
[tex]\sf{P = \frac{(4 \times 3 \times 2 \times 1)}{ {(2 \times 1)}}} [/tex]
[tex]\sf{P = \frac{24}{ {2}}} [/tex]
[tex]\sf{P = 12} [/tex]
- Urutan 1 = 13347
- Urutan 2 = 13437
- .
- .
- .
- Urutan 12 = 17433
Langkah ketiga, hitung jumlah nomor jika diawali oleh angka 3.
[tex]\sf{P = \frac{(n - 1)!}{k_{1}!}} [/tex]
[tex]\sf{P = \frac{(5 - 1)!}{0!}} [/tex]
[tex]\sf{P = \frac{4!}{1}} [/tex]
[tex]\sf{P = 4!} [/tex]
[tex]\sf{P = 4 \times 3 \times 2 \times 1} [/tex]
[tex]\sf{P = 24} [/tex]
- Urutan 13 = 31347
- Urutan 14 = 31374
- .
- .
- .
- Urutan 24 = 37431
Langkah keempat,hitung jumlah nomor jika diawali oleh angka 41.
[tex]\sf{P = \frac{(n - 2)!}{k_{1}!}} [/tex]
[tex]\sf{P = \frac{(5 - 2)!}{2!}} [/tex]
[tex]\sf{P = \frac{3!}{2!}} [/tex]
[tex]\sf{P = \frac{(3 \times 2 \times 1)}{(2 \times 1)}} [/tex]
[tex]\sf{P = \frac{6}{2}} [/tex]
[tex]\sf{P = 3} [/tex]
- Urutan 37 = 41337
- Urutan 38 = 41373
- Urutan 39 = 41733
Langkah kelima,hitung jumlah nomor jika diawali oleh angka 43.
[tex]\sf{P = \frac{(n - 2)!}{k_{1}!}} [/tex]
[tex]\sf{P = \frac{(5 - 2)!}{0!}} [/tex]
[tex]\sf{P = \frac{3!}{1}} [/tex]
[tex]\sf{P = 3!} [/tex]
[tex]\sf{P = 3 \times 2 \times 1} [/tex]
[tex]\sf{P = 6} [/tex]
- Urutan 40 = 43137
- Urutan 41 = 43173
- Urutan 42 = 43317
- Urutan 43 = 43371
- Urutan 44 = 43713
- Urutan 45 = 43731
Jadi, nomor peserta 43137 berada pada urutan ke-40.
=======================
PELAJARI LEBIH LANJUT
- Materi tentang permutasi tanpa unsur ganda : https://brainly.co.id/tugas/18225292
- Materi tentang permutasi dengan unsur ganda : https://brainly.co.id/tugas/44882915
- Materi tentang permutasi siklis : https://brainly.co.id/tugas/5550966
=======================
DETAIL JAWABAN
Kelas : 12
Mapel : Matematika
Materi : Bab 7 - Kaidah Pencacahan
Kode Kategorisasi : 12.2.7
[answer.2.content]
